据说95%的人解不出这道题，你敢挑战吗？

Category: 高端夏校 Date: 2018年7月2日下午8:30

你可能已经在朋友圈看到过很多类似什么“史上最难数学题”之类的问题等等，它们很多都是一些标题党，“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是无关紧要的脑筋急转弯。以至于你看到下面这张图的时候，觉得它是这样的人畜无害，简单易解，那么你就错了！

这个问题可不是标题党。这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。好了，让我们开始吧！

我们求解的是这个方程的整数解

首先就题而言，方程涉及有理函数（多项式除多项式的函数形式），但很显然我们可以用通分移项的方法化成一个多项式函数，所以我们实际上解得是一个丢番图方程（Diophantine equation）。正数解的要求有一点不同寻常，接下来我们会看到这个要求会让问题变得多么难。

变形

很明显，我们有三个变量，分别是a、b、c。这个方程是齐次的。这意味着如果（a，b，c）是方程的一个特解的话，那（7a，7b，7c）也是它的解。你能看出为什么吗？给每一个变量乘一个常数没有改变方程的结构（7只是一个例子），因为分子分母全部都约掉了。

降维

这意味着这个方程看上去像是三维的，但它实际上只有两维。在几何学中，它对应着一个面（一个三元方程一般定义一个两维的面。一般来说，k个n元方程定义一个d维的流形，d=n-k）。这个面是由一条过原点的线旋转形成的，可以通过截取的单平面来理解。这是一条射影曲线。一般来说，齐次方程的整数解对应一个低一个维度的非齐次方程的有理数解。

这个方程的次数是什么？

我们这个方程是三次的。合并同类项后，方程整理如下：

你可能会反对这样的变形：因为这样获得的解可能恰好使某个分母等于0，使得原方程没有意义。这是对的，我们的新方程的确有些解不与原方程对应。但这是好事（@F91）。这个多项式形式给原方程打上了一些补丁使得它便于处理；对于我们找到的任何特解，只需要代入原方程检验一下分母等不等于0就可以了。

事实上，多项式方程很容易找到某个特解，比如说， a=−1 ，b=1, c=0。这是好事：我们有了有理数解，或者说有理点。这意味着我们的立体方程（3维）实际上是个椭圆曲线。当你发现这个方程是椭圆曲线时，你会喜出望外，然后悲从中来，因为你发现椭圆曲线问题是个庞然大物（学渣哇的一声哭出来）。

首先，我们需要把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯（注：Weierstrass，提起他最著名的成就就是严密化微积分的ε-δ语言）形式。这是一个长得像这样的等式：

或者有时候也会化成

(这被称为长魏尔斯特拉斯形式。它并不是严格必需的，但有时候会带来一些便利)对于我们而言，需要的变换由令人生畏的公式导出。

一旦你完成了这些变形，沉闷但异常直白的代数计算可以证明它是对的。

这个方程尽管看起来和原方程长得不怎么像，但确是如假包换的可靠模型。在图像上它长成这样，一条有着两个实部的经典椭圆曲线：

右边的“鱼尾”连续延伸至正负无穷。左边的封闭椭圆曲线将成为解决问题的契机。给定这个方程的任意解（x，y），你都可以通过下面的等式还原所求的a，b，c：

让我们来看看手里的这个例子。它的椭圆曲线存在一个很好的有理数点：x=−100, y=260。可能找到这个点不太容易，但检验它在曲线上就很简单了：直接代入原方程检验等式两边是否相等。现在，一旦你在椭圆曲线上找到了有理数点，如P（-100,260），你就可以利用弦切技巧进行加法，生成其它的有理数点（有理数的加法是封闭的，有理数加有理数还是有理数）。

一开始，我们可以通过作P点的切线，找到它和曲线再次相交的点，以此增加P点的值。结果开始变得有点吓人

这个新的点也对应一组a，b，c的值,(a,b,c)=(9499,−8784,5165)这个解用手算很困难，但用电脑就是小意思了。然而，它还不是正的。当然，困难吓不倒我们，我们继续计算3P=2P+P，操作方法就是连接P和2P找到与曲线的第三个交点再与O点相连找到第四个交点。同样的，我们计算a，b，c，然而还是同样的，结果不是正数。以此类推，计算4P，5P等等等等。直到我们计算到9P。