AMC | 坐标系里的三种必备图形

AMC美国数学学术活动系列将连载12期，根据AMC10/12体系，来讲解其涉及到的各个知识点，并为公立学校和国际学校的学生提供中英文对照。本期为第 6 期。

 

 

本期要点： 

1.坐标系和解析几何来源

2.直线方程

3.抛物线

4.双曲线

 

 

咱们先从坐标系的发明人——笛卡尔讲起。

 

有一天，法国数学家笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。后来他把两个有关系的数字 x 和 y ，分别画到平面上水平方向和竖直方向，这样两个数字就能对应一个点了。 

至于 x， y 两个数字之间的关系，最常见的是直线、抛物线和双曲线了。下面我们来分别画一下。

 

 

当我们写下 y=mx + c 这个式子。m 和 c 无论取任何数，x 与 y 的关系都是一次的关系。把这个关系画在坐标系中，就形成了直线。 

这条直线的斜率 （slope）受 x 前面这个数——m，影响；这条直线和 y 轴的交点 （y-intercept） 受常数项 c 影响。 

 

 

一次函数较为简单，只有两个 m 和 c 两个影响因素，现在我们来看看有三个影响因素的二次函数。

a 对于图像的影响是：

a 是正数则开口向上，a 是负数则开口向下。

a 的绝对值大小会影响开口的大小

 

 

b 这个数字会影响抛物线的对称轴 （axis of symmetry），但是准确的说，是 a 与 b 共同影响对称轴，对称轴为： x 等于负 2a 分之 b。 

最后，c 就比较简单了，它和直线中的 c 一样，都是控制图像与 y 轴的交点，即使图像产生上下平移的效果。 

一次的和二次的线了解了，咱们再讲一个负一次的——即反比例函数。 

 

大家仔细观察上图就明白：反比例函数图像为双曲线，只有一个变量 k 影响图像的形状。k 是正数的话，图像在一、三象限；k 是负数的话，图像在二、四象限。 

 

好，今天你学习了《AMC系列》的第六讲，了解了平面直角坐标系的来源，也会了三种图像和参数之间的联系。 

恭喜你，又解锁了AMC数学学术活动的一个新章节。下次我们将学习代数运算。 

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