欧几里得数学竞赛知识体系
一、代数运算与方程求解
这是整个竞赛的基础底盘。其难点不在于单一技巧，而在于复杂表达式的综合化简与高次方程的灵活求解。考生必须熟练掌握多项式运算、分式化简、指数与对数方程。重中之重是能处理绝对值方程、含有根式的方程以及各种复杂方程组，并能在解题过程中进行严谨的代数变形。
二、平面几何与解析几何的深度融合
欧几里得竞赛对几何的考察极为深入，尤其侧重于平面几何的经典定理与解析方法的结合。必须精通三角形（正弦/余弦定理、相似与全等）、圆（圆周角、圆幂定理）、多边形的性质。在解析几何方面，核心是直线、圆、抛物线的方程，以及交点、切线、距离、面积的计算。解题关键在于从几何图形中抽象出代数关系，或为代数结论寻找几何直观。
三、数列、级数与数论初步
这部分是拉开分数差距的关键。等差数列与等比数列的通项、求和是基础，真正的挑战在于通过递推关系定义的新数列，以及级数的求和技巧（如裂项相消）。数论内容虽不深，但要求掌握整除性、模运算、质因数分解等基本概念，并能将其应用于整数解问题。
四、函数、图像与函数变换
核心是深入理解各类函数（多项式、有理函数、指数、对数、三角函数）的性质与图像。重点考察函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，以及函数图像的平移、伸缩、对称变换。考题常要求通过函数变换逆向推导原函数，或分析复合函数的性质。
五、排列组合与概率
这是逻辑思维能力的集中体现。必须深刻理解并准确应用加法与乘法原理。熟练掌握排列、组合的基本计算公式，并能解决有限条件下的计数问题（如圆桌排列、容斥原理）。概率部分通常与计数相结合，计算古典概型的概率。总结：欧几里得竞赛的成功，并非依赖于超出高中数学大纲的“偏怪难”知识，而是取决于对上述核心知识点的深度理解、融会贯通与灵活应用。其命题精髓在于，用常见的知识点构造出需要多步骤推理和创造性思维的综合性问题。
翰林欧几里得数学竞赛体验课
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