2025年BMO数学奥赛Round 1 已落幕！
为了让同学们高效回顾考试重点
翰林在静默期结束后，第一时间为大家准备了
BMO R1 2025年真题+视频解析
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BMO英国数学奥赛考情分析
针对本次BMO Round 1 的考试，我们翰林数学教研组长张博士浏览了试卷，做了一个简单的分析，快来看看吧！
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总体考情
BMO R1今年难度基本与去年持平，六道题目的搭配为两道数论，两道代数，一道几何和一道组合。
相较去年，Q1,Q3,Q5均为数论，此外各还有一道代数（Q2，数列），一道几何（Q4，简单构造全等三角形），和一道组合（Q6，较难，空间构型抽屉原理），今年在板块分布上更均衡一些。
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具体题目情况
第一题
一道涉及因数分解和简单不定方程解的构造的数论题目，算是开胃菜。
第二题
久违的轮换对称三元二次方程组的求解，BMO R1的经典题型，上一次考察应该是2012年了。
这次难度不高，三式相加凑一个完全平方，消掉一个未知数带入令两式再相减即可。
第三题
有趣的组合题目。
巧解的关键在于把拼图的可能性可以对应到一个size从1*1分9步不断增加至10*10的正方形的扩张过程的可能性，而这9步的过程又可以和每一步扩张生成的正方形的左上顶点的位置运动过程来标记：每一步扩张左上顶点有三种运动可能，分别是向左一步，向上一步和斜着沿着单位正方形对角线一步。
运动的起点坐标是（3,2），重点坐标是原点（0,0)，按斜着沿对角线走的步数分类讨论即可。
AIME中也有较多类似的网格路径可能性的问题。
第四题
涉及相似和共圆的几何题。
历史上BMO R1的几何基本上是送分题，读完题目画好图思路差不多就出来了，相较其他三个板块的题目质量是比较差的。而今年的几何难度骤升，估计会多少打仍然抱有之前历史经验的同学个措手不及。这道题显然需要证明一对（或对称的另一对）三角形相似来得到题目中的线段乘积等式。
而关键在利用两个相切的条件倒弦切角（连接XB，XC），然后发现A,B,X,C四点共圆，注意到A和X点相对于B，C两点的位置对应关系及我们希望证明相等的两对角度，在ABM，ACM中，以及XBM和XCM中分别对称地应用law of sine则可证得。
理论上，这道题如果尝试用纯几的方法证明相似遇到困难，也可以硬算。AM是中线长度很好表达，而XM为两相交圆的相交弦，两圆半径可以表达，圆心距拆分为水平和竖直方向距离也可以表达，相交弦长度也可以算。不过估计运算量较大对学生的三角化简能力要求很高。
第五题
递归数列的问题。
根据递归规则计算该数列前面一些项的值后，猜测1会不断出现并连续累计。2025的倍数起头会先将2的因子和3的因子除干净，最终归结为一个25乘以一个奇数的后续生成项的讨论。注意到以后序列的严格单调递减性可证。
第六题
有趣的模4的数组演化过程问题，算是这次的压轴。
分析的关键在于注意到青蛙独立运动不改变自己编号模4的余数，而一次“清除”跳跃需要三个模4连续的余数，而每一次“清除”都会将一组三个模4连续的余数置换为剩下的那个余数（如（1,2,3）置换为（0），向左向右都一样），问题变为k组四个连续模4的余数加额外的头一个（1）或者头三个余数（1,2,3）怎么安排“清除"跳跃序列来将原本的连续模4余数序列演变为最终连续三个模4的余数。
同时注意到每个点的位置由运动规则都是模4同余等价的（也就是一个数可以自由运动到任何一个和这个数模4同余的位置上去），计算四种“清除”跳跃执行的次数（在位置等价下顺序不重要）即可。
BMO英国数学奥林匹克赛事
BMO英国数学奥林匹克竞赛是UKMT旗下针对高年级中学生的比赛项目。BMO有两轮：BMO Round 1和BMO Round 2，BMO Round 1的前10%才能参加第二轮。
在英国，只有SMC成绩优秀的学生才有资格参加BMO Round 1（约1000人）。中国学生可以直接报名参加BMO Round1。
UKMT作为通往国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的重要桥梁，每年吸引全球约6000余所学校、70万名学生的热情参与，堪称英国规模最大、影响力最广泛的全国性数学竞赛盛事。
与IMO的晋级关系：BMO Round1→BMO Round 2→IMO
赛事形式
考试形式：英文
考试时间：3.5小时
需要完全化简的答案以及完整的解答过程（部分过程正确也将获得一定的分数）
考试题型：Round 1需要完成6道解答题；Round 2需要完成4道解答题
考察内容
通常涵盖几何学、三角学、函数方程、代数、数论、组合数学等。
第一轮奖项设置
* 中国的参赛者将根据英国的截止分数进行评判
♚ 金奖 (Gold Medal)： 授予英国排名前 20 的选手。
♚ 银奖 (Silver Medal)： 授予英国排名 21-50 的选手。
♚ 铜奖 (Bronze Medal)： 授予英国排名 51-100 的选手。
♚ 优秀奖 (Distinction)： 授予约前 26% 的选手。
♚ 良好奖 (Merit)： 授予约前 66% 的选手。
BMO第一轮晋级第二轮资格
BMO第二轮资格门槛：英国约前100名的学生可以晋级第二轮，中国学生会参照英国的分数线。
♚ 优秀奖 (Distinction)： 授予前 25% 的选手。
♚ 良好奖 (Merit)： 授予约前 48% 的选手。
接下来可以参加的数学竞赛
——AIME即将开考！
AIME美国数学邀请赛是介于AMC10、AMC12及美国数学奥林匹克竞赛（USAMO）之间的数学竞赛，始于1983年，每年2月分两次开赛，分别为 AIME I 和 AIME II。
参赛对象
获得AIME参赛资格的主要途径如下：
①在AMC10考试中排名前3-6%左右（约1000名）的学生会自动获得邀请；10年级及以下，且在竞赛当天年龄不超过17.5岁。
②在AMC12考试中排名前6-13%左右（约前3000名）的学生会自动获得邀请；12岁及以下，且在竞赛当天年龄不超过19.5岁。
考试时间
AIME报名截止日期：2026年1月27日
AIME I 竞赛时间（暂定）：2026年2月6日
（限北美学生参与，国际学生不可参与）
AIME II 竞赛时间（暂定）：
2026年2月12日（周四）
考试规则
考试时长：3小时
试卷语言：中英双语
考试题型：15道填空题
每题1分，满分15分。其中每个答案都是 0 到 999 之间的整数，答错或不答都不得分。
AIME是邀请赛，不接受大众形式报名，通过AMC10/12晋级分数线的考生，会自动晋级AIME，晋级考生官方会发邮件通知。
备战AIME数学竞赛，真题是不可或缺的资料，小林为大家准备了【23-24年AIME数学竞赛真题+答案+解析】，需要的同学们快来 扫码免费领取 吧！
今年官方对USA(J)MO美国数学奥赛晋级规则进行了调整，AIME权重大幅增加！
调整后的：
USAMO晋级标准：
AMC12分数 + 20 × AIME分数
USAJMO晋级标准：
AMC10分数 + 20 × AIME分数
规则调整后，AIME权重大幅增加，以前AMC10/12和AIME的成绩在总分中各占约50%，但如今AIME的占比直接跃升至2/3！
在当前AIME成绩重要性日益凸显的背景下
从AMC成绩出炉到AIME考试仅剩约80天！
而自分数线公布至AIME开考更不足60天！
时间紧迫，备战AIME必须立即行动！
为助力同学们系统性学习接下来的AIME数学竞赛知识，翰林特别开设AIME数学竞赛【全程班、冲刺班、双旦集训】各类班课！满足不同阶段的学员需求！
金牌导师全程指导+系统培养竞赛思维
助力学员冲刺全球前1%！
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