2018-美国数学竞赛-2018-AMC12A Problem 23

各位同学，大家好，在接下来的一段时间内，我将会更新美国数学学术活动和滑铁卢数学学术活动的最后几道题的解答过程。

今天我们先来看

2018-AMC12A Problem 23： 在△PAT中，∠P = 36°，∠A = 56°，并且PA=10. 点U和G分别在边TP和TA上，并且PU = AG = 1. M 和 N分别是线段PA和UG的中点，直线MN和PA所形成的锐角是多少度？

由题意作图如下： 这道题虽然不容易，但是对于经历过中考厮杀的同学来说应该不算难。看到这两个明晃晃的中点M和N，不知道同学们有没有想到倍长中线，有没有想到构造全等三角形来试一试？

那么接下来我们就来试一试。

倍长中线造全等：

由全等三角形的性质可知，PU=PG'=1, ∠G'PM=∠A=56°。即△PUG'是顶角为92°的等腰三角形。

如图所示，△PUG' 的底角即为44°：

又M和N均为中点，那么在△GUG' 中，MN是中位线，即MN∥UG'，由【两直线平行，同位角相等】即可知所求的角等于80°。